二重积分的计算

在直角坐标系计算二重积分

为了叙述方便，我们称形如
$$D=\left\{ (x,y)|\varphi_{1}(x)\leqslant y\leqslant\varphi_{2}(x),a\leqslant x\leqslant b\right\} $$
的闭区域为 $x$ 型域.

直观理解：x 是底层变量，用垂直于 x 轴的直线沿 x 轴扫描，仅能够产生两个及以下个交点。

称形如
$$D=\left\{ (x,y)|\psi_{1}(y)\leqslant x\leqslant\psi_{2}(y),c\leqslant y\leqslant d\right\} $$
的闭区域为 $y$ 型域.

我们下面由二重积分的几何意义得到二重积分的计算方法。

二重积分 $\displaystyle \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma$ 的几何意义为其值等于以 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。
不妨设区域 $D$ 为 x 型域，选取垂直于 x 轴的一个扫描层（该扫描层平行于 zyO 面），该曲边梯形的面积可以由定积分得到
$$S(x)=\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y)dy\tag{1}$$
再将每一个扫描层在 x 的定义域内积分，得到体积 $V$
$$V=\int_{a}^{b}S(x)dx=\int_{a}^{b}\left[\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y)dy \right]dx\tag{2}$$
故，根据两种体积的表示形式，我们有
$$\displaystyle \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}\left[\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y)dy \right]dx\tag{3}$$
我们称上式的右端为 先对 y 后对 x 的二次积分（累次积分）。
即：二重积分的计算可以转化为计算两次定积分。
理解：先将 x 看成常数，$f(x,y)$ 看成 y 的一元函数，在区间 $[\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)]$ 上对 y 求定积分；再在区间 $[a,b]$ 上对 x 求定积分。
$(3)$ 一般记作
$$\displaystyle \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y)dy\tag{4}$$

同理，对于 y 型域，二重积分可以化为先对 x 后对 y 的二重积分：
$$\displaystyle\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int_{c}^{d}dy\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}f(x,y)dx\tag{5}$$

选择积分次序对计算量而言是很关键的。

在极坐标系计算二重积分

有些二重积分，用极坐标方程可以更简便地表示积分区域的边界，并且更简便地表示被积函数。

极坐标系下的二重积分

现有 $f(x,y)\in C(D),\ D$ 为 $Oxy$ 面上的有界闭区域。以极坐标原点为圆心作一簇半径为 $r$ 的同心圆，以极坐标原点为发射点作一簇旋转角度为 $\theta$ 的射线，从而将区域 $D$ 分割为许多小的区域。选取一个典型区域，可以看作为一个矩形微元，其面积元素为
$$d\sigma=rd\theta\cdot dr=rdrd\theta\tag{6}$$
根据直角坐标系与极坐标系的关系
$$\begin{cases}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta
\end{cases}\tag{7}$$
把 $(7)$ 带入二重积分的定义式可得
$$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\underset{D}{\iint}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\tag{8}$$
于是，我们将直角坐标系下的二重积分转换成了极坐标系下的二重积分，这本质上是一种二重积分的变量代换：极坐标变换。

化极坐标系下的二重积分为二次积分

设积分区域 $D$ 可以用极坐标表示为
$$D = \left\{(r,\theta)|r_{1}(\theta)\leqslant r\leqslant r_{2}(\theta),\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta\right\}$$

其中 $r_{1}(\theta),r_{2}(\theta)\in C[\alpha,\beta].$ 这种区域的特点是发自极点的任意一条射线 $\theta =\theta_{0}(\theta_{0}\in(\alpha,\beta))$ 与 $D$ 的边界的交点不多于两点。将极坐标系下的二重积分化为先对 $r$ 后对 $\theta$ 的二次积分
$$\underset{D}{\iint}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\tag{9}$$

一般来说，当积分区域 $D$ 是圆或圆的一部分，且被积函数特别简单或被积函数可以写成 $z=f(x^{2}+y^{2})$ 的形式时，二重积分 $\displaystyle\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy$ 采用极坐标计算可能会更加简捷。

一个重要的反常积分：概率积分
$$\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\tag{10}$$

二重积分的换元法

上方用极坐标计算二重积分的本质就是换元法。
接下来我们讨论更一般的二重积分换元积分法。

（定理）设 $f(x,y)\in C(D),\ D$ 是 $Oxy$ 面上的有界闭区域。作以下变换
$$\begin{cases}
x=x(u,v),\\
y=y(u,v),
\end{cases}\ \ (u,v)\in D',\tag{11}$$
其中， $D'$ 是平面 $O'uv$ 上的有界闭区域，$x(u,v),y(u,v)\in C^{(1)}(D')$. 如果在上述变换中，$D'$ 与 $D$ 一一对应，且在 $D'$ 上 Jacobi 行列式
$$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\not =0\tag{12}$$
则有 二重积分的换元公式
$$\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{D'}{\iint}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv\tag{13}$$

在计算 Jacobi 行列式时，若直接求 J 不易计算，可先求其倒数
$$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}}$$

总结

本节分别从直角坐标系和极坐标系介绍了二重积分在实际计算中的操作方法，并且讨论了更一般的换元方法。